Question

15．問題探究：三角形的內(nèi)接四邊形指頂點在三角形各邊上的四邊形．
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，正方形MNEF的頂點M、E在BC上，頂點N在AB上，請以點B為位似中心，作△ABC的內(nèi)接正方形．（不寫作法）．
（2）如圖2，△ABC中，BC=12，∠B=45°，AD⊥BC于點D，AD=8，請以點D為位似中心，作△ABC的內(nèi)接正方形，并求出所作正方形的面積（不寫作法）．
問題解決
（3）如圖3，將（2）中的△ABC翻折得到四邊形ABEC，對角線AE、BC相交于點D，請以點D為位似中心作正方形MNPQ，使得點M、N、P、Q在正方形ABEC的各邊上．
要求：①寫出作法，證明四邊形MNPQ是正方形；
②求出正方形MNPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長BF交AC于F′，作F′E′∥EF交BC于E′，作F′N′∥BC交AB于N′，作N′M′∥EF交BC于M′，正方形M′N′F′E′即為所求．
（2）如圖2中，正方形MNEF的頂點M、F在BC上，且DM=2DF．延長DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延長DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即為所求．設正方形M′N′E′F′的邊長為x，由N′E′∥BC，推出△AN′E′∽△ABC，可得$\frac{x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，解方程即可．
（3）作正方形MNEF，使得MN∥AD，MN交BC于P，EF交BC于Q，且PN=PM，PD=2DQ，延長DE交AC于E′，延長DN交AB于N′，延長DM交BE于M′，延長DF交EC于F′，連接M′N′，N′E′，E′F′，F(xiàn)′M′，則四邊形M′N′E′F′即為所求．設E′F′交BC于G，M′N′交BC于H．首先證明四邊形M′N′E′F′是平行四邊形，再證明有一個角是直角，鄰邊相等即可．

解答 解：（1）如圖1中，請以點B為位似中心，△ABC的內(nèi)接正方形M′N′F′E′如圖所示．

（2）如圖2中，以點D為位似中心，△ABC的內(nèi)接正方形M′N′E′F′如圖所示．

正方形MNEF的頂點M、F在BC上，且DM=2DF．延長DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延長DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即為所求．
設正方形M′N′E′F′的邊長為x，
∵N′E′∥BC，
∴△AN′E′∽△ABC，
∴$\frac{x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
∴x=$\frac{24}{5}$，
∴正方形M′N′E′F′的邊長為$\frac{24}{5}$．

（3）如圖3中，

作正方形MNEF，使得MN∥AD，MN交BC于P，EF交BC于Q，且PN=PM，PD=2DQ，延長DE交AC于E′，延長DN交AB于N′，延長DM交BE于M′，延長DF交EC于F′，連接M′N′，N′E′，E′F′，F(xiàn)′M′，則四邊形M′N′E′F′即為所求．設E′F′交BC于G，M′N′交BC于H．
由題意AB=AD=8，DC=4，
∴AD=2DC，
∵△BCE是由△ABC翻折得到，PN=PM，QE=QF，
∴根據(jù)對稱性可知，E′F′∥AE∥M′N′，
∵EQ：DQ=3：2，
∴E′G：DG=3：2，
∵E′G：GC=AD：DC=2：1，
∴AE′：E′C=DG：GC=4：3，同理可證AN′：BN′=4：3，
∴AN′：BN′=AE′：E′C，
∴E′N′∥BC，同理可證M′F′∥BC，
∴四邊形M′N′E′F′是平行四邊形，易知∠M′N′E′=90°，
∴四邊形M′N′E′F′是矩形，
∵EN∥E′N′，EF∥E′F′，
∴EN：E′N′=DE：DE′=EF：E′F′，
∵EN=EF，
∴N′E′=E′F′，
∴四邊形M′N′E′F′是正方形．設邊長為a，
∵N′E′∥BC，
∴△AN′E′∽△ABC，
∴$\frac{a}{12}$=$\frac{8-\frac{1}{2}a}{8}$，
∴a=$\frac{48}{7}$
∴正方形M′N′E′F′的邊長為$\frac{48}{7}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、位似變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用位似變換構建正方形，學會用方程的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．