Question

1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如圖1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，求證：AE+AF=AD
（2）如圖2，如果∠EDF=60°，且∠EDF兩邊分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)，那么線段AE，AF，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，再證出∠ADE=∠ADF=90°-60°=30°，由含30角的直角三角形的性質(zhì)得出AE=$\frac{1}{2}$AD，AF=$\frac{1}{2}$AD，即可得出結(jié)論；
（2）連接BD，證明△ABD是等邊三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，證出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=∠ADF=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴AE+AF=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$AD=AD；
（2）解：線段AE，AF，AD之間的數(shù)量關(guān)系為：AE+AF=AD，理由如下：
連接BD，如圖所示：
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABD=∠DAC，
∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
∴∠EDB=∠ADF，
在△BDE與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DAC}\\{AD=BD}\\{∠EDB=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AE+BE=AD，
∴AE+AF=AD．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．