Question

4．閱讀下列材料：
如圖1，在線段AB上找一點(diǎn)C（AC＞BC），若BC：AC=AC：AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，這時比值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≈0.618，人們把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$稱為黃金分割數(shù)．長期以來，很多人都認(rèn)為黃金分割數(shù)是一個很特別的數(shù)，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所推廣的優(yōu)選法中，就有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)．
我們可以這樣作圖找到已知線段的黃金分割點(diǎn)：如圖2，在數(shù)軸上點(diǎn)O表示數(shù)0，點(diǎn)E表示數(shù)2，過點(diǎn)E作EF⊥OE，且EF=$\frac{1}{2}$OE，連接OF；以F為圓心，EF為半徑作弧，交OF于H；再以O(shè)為圓心，OH為半徑作弧，交OE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是線段OE的黃金分割點(diǎn)．
根據(jù)材料回答下列問題：
（1）線段OP長為$\sqrt{5}-1$，點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為$\sqrt{5}$-1；
（2）在（1）中計算線段OP長的依據(jù)是勾股定理．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得OF，再由線段的和差求得OP，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵OE=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$OE=1，
∵EF⊥OE，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由作法知，F(xiàn)H=EF=1，OP=OH=OF-FH=$\sqrt{5}$-1，
∴點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為：$\sqrt{5}$-1，
故答案為：$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1；
（2）在（1）中計算線段OP長時，
首先根據(jù)勾股定理求得OF，
再由OP=OH=OF-FH求得OP，
故答案為：勾股定理．

點(diǎn)評 本題考查了黃金分割，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．