Question

17．在研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，小陳利用直線正比例函數(shù)y=x的圖象，通過平移得到了一次函數(shù)y=x-1的圖象，通過觀察，小陳說只需將直線y=x向下平移一個單位，即可得到直線y=x-1；小云說，你的平移方式也可以看成將直線y=x向右平移1個單位；小捷說：你們倆說的都對，對于直線y=ax+b上任意一點A（x₀，y₀），向右平移m個單位，再向上平移n個單位，其解析式應該變成y=a（x-m）+b+n，例如：直線y=2x+3向右平移2個單位，再向上平移1個單位，則解析式變?yōu)閥=2x．
參考上述方法，解決下列問題：
問題1：將直線y=$\frac{1}{2}$x-1向右平移2個單位，則其解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2；
問題2：將直線y=$\frac{1}{3}$x+2向下平移1個單位，再向左平移3個單位，其解析式為y=$\frac{1}{3}$x+2；
問題3：將直線y=ax+a+1通過向下平移a+2個單位可以得到直線y=ax-1
知識應用：利用上述方法，我們也可以解決反比例函數(shù)的平移問題；
問題4：反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$向右平移1個單位，其解析式為y=$\frac{6}{x-1}$；
問題5：反比例函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$與正比例函數(shù)y₂=x的交點M的坐標為（2，2）、（-2，-2）；利用圖象解不等式$\frac{4}{x}$＞x，其解集為x＜-2或0＜x＜2；
問題6：利用上述知識解不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1，其解集為x＜0或2＜x＜4；
問題7：已知不等式$\frac{8}{x-a}$+b＞2x的解集為x＜-1或1＜x＜3，則a=1；b=2．
問題8：已知函數(shù)y=$\frac{2}{2x-1}$+3，其圖象上任意一點（x₀，y₀），判斷點（x₀+1，y₀-3）在下列哪個函數(shù)圖象上C
A．y=$\frac{2}{2x-1}$； B．y=$\frac{2}{2x-1}$+3； C．y=$\frac{2}{2x-3}$； D．y=$\frac{2}{2x+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題中直線平移的規(guī)律解決問題1、2、3；類似直線的平移規(guī)律，反比例函數(shù)圖象的平移有相似的規(guī)律，則可解決問題4；先解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$得M點坐標，然后利用兩函數(shù)的圖象的位置關系求不等式$\frac{4}{x}$＞x的解集，則可解決問題5；先把不等式變形得到$\frac{4}{x-2}$＞x-2，則可把問題5中的兩函數(shù)圖象向右平移2個單位得到y(tǒng)=$\frac{4}{x-2}$和y=x-2的圖象，則把問題5中M點向右平移2個單位，則可確定圖象y=$\frac{4}{x-2}$和圖象y=x-2的交點坐標，然后利用兩函數(shù)的圖象的位置關系求不等式的解集，于是可解決問題6；由于不等式的解集為x＜-1或1＜x＜3，則直線x=1為圖象y=$\frac{8}{x-a}$的對稱軸，所以y=$\frac{8}{x}$與y=2x的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)=$\frac{8}{x-a}$和y=2x-b的圖象，則利用平移的規(guī)律易得a和b的值，從而解決問題7；先根據(jù)點平移的規(guī)律，求出y=$\frac{2}{2x-1}$+3的圖象向左平移1個單位，向下平移3個單位的解析式即可解決問題8．

解答 解：問題1：將直線y=$\frac{1}{2}$x-1向右平移2個單位，則其解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-2）-1，即y=$\frac{1}{2}$x-2；
問題2：將直線y=$\frac{1}{3}$x+2向下平移1個單位，再向左平移3個單位，其解析式為y=$\frac{1}{3}$（x+3）+2-1，即y=$\frac{1}{3}$x+2；
問題3：由于將直線y=ax+a+1通過向下平移（a+2）個單位可以得到直線y=ax-1；
知識應用：
問題4：反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$向右平移1個單位，其解析式為 y=$\frac{6}{x-1}$；
問題5：解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，所以反比例函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$與正比例函數(shù)y₂=x的交點M的坐標為（2，2）、（-2，-2）；不等式$\frac{4}{x}$＞x的解集為x＜-2或0＜x＜2；
問題6：不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1，即$\frac{4}{x-2}$＞x-2，即把反比例函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$與正比例函數(shù)y₂=x的交點M的坐標為（2，2）、（-2，-2）向右平移2個單位，所以不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1的解集為 x＜0或2＜x＜4；
問題7：不等式$\frac{8}{x-a}$+b＞2x變形為$\frac{8}{x-a}$＞2x-b，由于不等式的解集為x＜-1或1＜x＜3，則y=$\frac{8}{x}$與y=2x的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=$\frac{8}{x-a}$和y=2x-b的圖象，所以a=1，b=2；問題8：點（x₀，y₀）向左平移1個單位，向下平移3個單位得到點（x₀+1，y₀-3），則把y=$\frac{2}{2x-1}$+3的圖象向左平移1個單位，向下平移3個單位，其解析式為y=$\frac{2}{2（x-1）-1}$+3-2，即y=$\frac{2}{2x-3}$，故選C．
故答案為y=$\frac{1}{2}$x-2；y=$\frac{1}{3}$x+2；a+2；y=$\frac{6}{x-1}$；（2，2）、（-2，-2），x＜-2或0＜x＜2；x＜0或2＜x＜4；1，2；C．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；運用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律理解反比例函數(shù)圖象的平移規(guī)律；會利用圖象法解不等式．