Question

20．如圖，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中點，求證：AB=2DM．

Answer 1

分析 取AC的中點N，連接MN，DN，由M為BC的中點，得到MN為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到MN等于AB的一半，且MN與AB平行，由兩直線平行同位角相等得到∠NMC=∠B，而∠B=2∠C，得到∠NMC=2∠C，由DN為直角三角形ADC斜邊上的中線，得到DN=NC，等邊對等角得到∠MDN=∠C，又因為∠NMC為三角形DMN的外角，利用三角形的外角性質(zhì)及等量代換可得出∠MDN=∠MND，利用等角對等邊可得出DM=MN，即可得證．

解答 證明：取AC的中點N，連接MN，DN，
∵M(jìn)為BC的中點，
∴MN為△ABC的中位線，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠B=∠NMC，又∠B=2∠C，
∴∠NMC=2∠C，
∵∠NMC為△DMN的外角，
∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C，
又∵DN為Rt△ADC斜邊上的中線，
∴DN=NC=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠MDN=∠C，
∴∠MND=∠C=∠MDN，
∴DM=MN，
則DM=$\frac{1}{2}$AB．

點評 此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形的外角性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．