Question

15．為解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我們可以將x²-1視為一個(gè)整體，設(shè)x²-1=y，則y²=（x²-1）²，原方程可化為y²-5y+4=0，解此方程，得y₁=1，y₂=4．
當(dāng)y=1時(shí)，x²-l=l，x²=2，∴x=±$\sqrt{2}$．
當(dāng)y=4時(shí)，x²-l=4，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$
∴原方程的解為x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，x₃=-$\sqrt{5}$，x₄=$\sqrt{5}$．
以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．運(yùn)用上述方法解下列方程：
（1）x⁴-3x²-4=0；
（2）（x²+x）（x²+x-2）=-1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=x²，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t²-3t-4=0，通過解該方程得到t的值，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可；
（2）設(shè)y=x²+x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程y（y-2）=-1，通過解方程求得y的值，然后解關(guān)于x的一元二次方程．

解答 解：（1）設(shè)t=x²，則t²-3t-4=0，
所以：（t-4）（t+1）=0，
解得t=4或t=-1（舍去）．
則x²=4，
解得x=-2，x=2．
因此方程的根為x₁=2，x₂=-2；

（2）設(shè)y=x²+x，則y（y-2）=-1，
所以（y-1）²=0，
解得y₁=y₂=1，
所以x²+x=1．即x²+x-1=0．
則x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
解得，x₁=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．