Question

3．閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵的值．
解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵，將等式的兩邊同乘以2，得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶
將下式減去上式得，2S-S=2²⁰¹⁶-1
即S=2²⁰¹⁶-1．
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1
請你仿照此法計算：
（1）填空：1+2+2²+2³=15．
（2）求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰的值．
（3）求1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ的值．（其中n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息可以解答本題；
（2）根據(jù)題目中的信息可以計算出題目中所求式子的結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，進行靈活變形可以解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
1+2+2²+2³=2⁴-1=16-1=15，
故答案為：15；
（2）由題意可得，
1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
=2¹¹-1
=2048-1
=2047；
（3）設(shè)S=1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
則$\frac{1}{3}$S=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ+$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴S-$\frac{1}{3}$S=1-$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴$\frac{2}{3}S$=1-$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
解得，S=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n}$，
即1+$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ的值是$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n}$．

點評 本題考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出數(shù)字的變化特點．