Question

13．在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師出示了這樣一道題，如圖1，在銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)邊分別是a、b、c，請(qǐng)用a、c、∠B表示b²．

經(jīng)過(guò)同學(xué)們的思考后，
甲同學(xué)說(shuō)：要將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解決，并且不能破壞∠B，因此可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖2，大家認(rèn)同；
乙同學(xué)說(shuō)要想得到b²要在Rt△ABD或Rt△ACD中解決；
丙同學(xué)說(shuō)那就要先求出AD=c•sinB，BD=c•cosB；（用含c，∠B的三角函數(shù)表示）
丁同學(xué)順著他們的思路，求出b²=AD²+DC²=a²+c²-2ac•cosB（其中sin²α+cos²α=1）；請(qǐng)利用丁同學(xué)的結(jié)論解決如下問(wèn)題：
如圖3，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．
求AC的長(zhǎng)（補(bǔ)全圖形，直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinB=$\frac{AD}{AB}$，cosB=$\frac{BD}{AB}$，于是得到結(jié)論；根據(jù)題意得到代數(shù)式，化簡(jiǎn)即可；如圖3所示，延長(zhǎng)BC，AD交于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，cosB=$\frac{BD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB=c•sinB，BD=AB•cosB=c•cosB，
CD=BC-BD=a-c•cosB，
則出b²=AD²+DC²═（c•sinB）²+（a-c•cosB）²
=c²sin²B+a²+c²cos²B+2ac•cosB
=c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac•cosB
=a²+c²-2ac•cosB．
如圖3所示，延長(zhǎng)BC，AD交于E，
∵∠B=90°，∠BAD=60°，AB=4，
∴AE=2AB=8，∠E=30°，
∵AD=5，
∴DE=3，
∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∴AC²=CE²+AE²-2CE•AEcos30°=12+64-2×$2\sqrt{3}$×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=28，
∴AC=2$\sqrt{7}$．
故答案是：c•sinB，c•cosB；a²+c²-2ac•cosB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，余弦定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．