Question

20．已知$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=a（a≠0且a≠$\frac{1}{2}$），求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 由已知條件得到$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{1}{a}$，利用分式的除法得x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，即x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-a}{a}$，再表變形$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$得到x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$，接著利用完全平方公式得到（x+$\frac{1}{x}$）²-1，所以$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-2a}{{a}^{2}}$，然后利用倒數(shù)定義即可得到原式的值．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=a，
∴$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{1}{a}$，
∴x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-a}{a}$，
∴$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-1=（$\frac{1-a}{a}$）²-1=$\frac{1-2a+{a}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{1-2a}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}}{1-2a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．本題的關(guān)鍵是利用倒數(shù)法求分式的值．