Question

17．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為M（2，-1），且與直線y=x+1相交于點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交拋物線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ的長為l，試確定l與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)C，是否存在點(diǎn)P使得以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△CAM相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²-1，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（m，m+1），則Q（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+1），易得PQ=-$\frac{1}{2}$m²+3m，再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得B（6，7），于是可得到m的取值范圍，從而有l(wèi)=-$\frac{1}{2}$m²+3m（0＜m＜6）；
（3）先確定C（-1，0），再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AC=$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{10}$，則可利用勾股定理的逆定理證明△ACM為直角三角形，∠CAM=90°，由于∠CAM=∠PAM=90°，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AM}$時(shí)，△AMP∽△ACM，利用相似比計(jì)算出AP=4$\sqrt{2}$，則利用兩點(diǎn)間的距離公式得到m²+（m+1-1）²=（4$\sqrt{2}$）²，當(dāng)$\frac{AM}{AM}$=$\frac{AC}{AP}$時(shí)，△AMP∽△AMC，利用相似比得AP=AC=$\sqrt{2}$，則利用兩點(diǎn)間的距離公式得到m²+（m+1-1）²=（$\sqrt{2}$）²，再分別解關(guān)于m的一元二次方程求出m，從而可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，
把A（0，1）代入得4a-1=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1；
（2）設(shè)P（m，m+1），則Q（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+1），
所以PQ=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{2}$m²+3m，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，則B（6，7），
因?yàn)镻為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），
所以0＜m＜6；
所以l=-$\frac{1}{2}$m²+3m（0＜m＜6）；
（3）存在．
當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，解得x=-1，則C（-1，0），
而A（0，1），M（2，-1），
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{{2}^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{（2+1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AC²+AM²=MC²，
∴△ACM為直角三角形，∠CAM=90°，
∵∠CAM=∠PAM=90°，
∴當(dāng)$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AM}$時(shí)，△AMP∽△ACM，即$\frac{2\sqrt{2}}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，解得AP=4$\sqrt{2}$，則m²+（m+1-1）²=（4$\sqrt{2}$）²，解得m₁=4，m₂=-4（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）；
當(dāng)$\frac{AM}{AM}$=$\frac{AC}{AP}$時(shí)，△AMP∽△AMC，即AP=AC=$\sqrt{2}$，則m²+（m+1-1）²=（$\sqrt{2}$）²，解得m₁=1，m₂=-1（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（4，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理證明直角三角形和利用相似比計(jì)算線段的長；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．