Question

6．已知如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD的中垂線分別交AD、BC邊于點(diǎn)E、F，連結(jié)EB、DF．AB=$\sqrt{3}$，AD=3．
（1）求DE的長(zhǎng)．
（2）過線段BE上一點(diǎn)M作MN∥BC，交DF于N，在邊BC上取一點(diǎn)G，使BG=BM，連結(jié)EG、EN，試求∠GEN的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過解直角△ABD得到∠ADB=30°，BD=2AB，則通過解直角△ODE來(lái)求DE邊的長(zhǎng)度；
（2）易得△EBF是等邊三角形．證△EBG≌△EFN，則得∠BEG=∠FEN，可推得∠GEN=60°．

解答 解：（1）∵在直角△ABD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2$\sqrt{3}$，
又∵EF是BD的中垂線，
∴∠EOD=90°，OD=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{OD}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，即DE=2．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即ED∥BF．
∴∠EDO=∠FBO．
在△EDO與△FBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{OD=OB}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴ED=FB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴BE∥FD，則BM∥FN，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形BMNF是平行四邊形，
∴BM=FN，
又∵BG=BM，
∴BG=FN．
由（1）知，∠ADB=30°，則易得∠DEO=60°．
∴∠BEF=∠DEF=60°，
∴△EBF是等邊三角形．
∴∠EBF=60°，BE=FE，
易得∠EFD=60°，即∠EFN=60°．
在△EBG與△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FE}\\{∠BEG=∠EFN=60°}\\{BG=FN}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△EFN（SAS），
∴∠BEG=∠FEN，
∴∠GEN=∠BEF=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題．解題時(shí)，要熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及正三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，要利用圖中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系來(lái)求得∠GEN的度數(shù)．