Question

1．受中日釣魚島事件的影響，在釣魚島被“國有化”的9月份，某日本品牌食用油價格開始回落，食用油批發(fā)商批發(fā)這種品牌的食用油，每桶在9月份前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

周數(shù)x	1	2	3	4
價格y1（元/桶）	60	59	58	57

進入10月份后，由于受中日關(guān)系趨于緩和等因素的影響，食用油的價格開始回升，該品牌食用油銷售價格y₂（元/桶）從10月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且銷售價格y₂（元/桶）與周數(shù)x（x為整數(shù)）的變化情況滿足二次函數(shù)：y₂=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c．
（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出9月份y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出10月份y₂與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若9月份該品牌的食用油進價m₁（元/桶）與周數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系為：m₁=$\frac{1}{3}$x²-3x+50，10月份該品牌的食用油進價m₂（元/桶）與周數(shù)x滿足函數(shù)關(guān)系為：m₂=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$，試問在9月份和10月份中，哪月的哪一周銷售一桶該品牌的食用油利潤最大？最大利潤是多少？
（3）在第（2）問的條件下，該批發(fā)商在10月份的第2周以該周的進價購入該品牌食用油1200桶，準(zhǔn)備在10月份第3周進行銷售．在第3周以該周的銷售價銷售了3a%后，為了加快銷售的進度，該批發(fā)商決定在原銷售價格的基礎(chǔ)上降價a%進行銷售，這樣順利的完成了第三周銷售1200桶的任務(wù)，且獲利12000元，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值（0＜a＜15）．
（參考數(shù)據(jù)：91²=8281，92²=9464，93²=8649，94²=8836）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得出y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；將點（1，54），（2，57）代入，可得出y₂與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別得出9月份、10月份的利潤表達式，然后利用配方法求出最值，繼而比較可得出答案；
（3）根據(jù)題意，令x=2求出m₂，令x=3求出y₂，然后列出方程，解出a的值即可，注意考慮實際情況進行取舍．

解答 解：（1）9月份：根據(jù)表格可得：y₁=-x+61；
10月份：∵當(dāng)x=1時，y=54；當(dāng)x=2時，y=57，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c-\frac{1}{4}=54}\\{2b+c-1=57}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{15}{4}}\\{c=\frac{101}{2}}\end{array}\right.$，
∴y₂=-$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$．
（2）設(shè)第x周的利潤為w元，
9月份：w=y₁-m₁=（-x+61）-（ $\frac{1}{3}$x²-3x+50）=-$\frac{1}{3}$x²+2x+11=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+14，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴開口向下，
又∵對稱軸是：直線x=3，
∴當(dāng)x=3時，w_最大=14；
10月份：w=y₂-m₂=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$-（ $\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x=10=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{161}{16}$
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴開口向下，
又∵對稱軸是：直線x=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)1≤x≤4時，w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=1時，w_最大=10，
∵14＞10，
∴9月份的第3周，利潤最大，最大利潤為14元/桶．
（3）在m₂=$\frac{7}{2}$x+$\frac{81}{2}$中，令x=2，得：m₂=$\frac{95}{2}$，
在y₂=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{15}{4}$x+$\frac{101}{2}$中，令x=3，得：y₂=$\frac{119}{2}$，
∴$\frac{119}{2}$×1200•3a%+$\frac{119}{2}$（1-a%）•1200•（1-3a%）-$\frac{95}{2}$×1200=12000，
令a%=m，則357m+119（1-m）（1-3m）=115，
整理得：357m²-119m+4=0，
△=8449≈92²，
m₁≈$\frac{119+92}{714}$≈0.295，
則a₁≈30（不合題意，舍去），
m₂≈$\frac{119-92}{714}$≈0.037，
則a₂≈4，
故a的整數(shù)值為4．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，題目所給信息量比較大，注意仔細審題，得到解題需要的信息，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，難度較大．