Question

7．如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：
①S₁+S₃=S₂+S₄     
②如果S₄＞S₂，則S₃＞S₁
③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂
④若S₁-S₂=S₃-S₄，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①正確；根據(jù)三角形的面積公式即可判斷②③錯(cuò)誤；根據(jù)已知進(jìn)行變形，求出S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，即可判斷④．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，
設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，
則S₁=$\frac{1}{2}$ABh₁，S₂=$\frac{1}{2}$BCh₂，S₃=$\frac{1}{2}$CDh₃，S₄=$\frac{1}{2}$ADh₄，
∵$\frac{1}{2}$ABh₁+$\frac{1}{2}$CDh₃=$\frac{1}{2}$AB•h_AB，$\frac{1}{2}$BCh₂+$\frac{1}{2}$ADh₄=$\frac{1}{2}$C•h_BC，
又∵S_{平行四邊形ABCD}=AB•h_AB=BC•h_BC
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①正確；
根據(jù)S₄＞S₂只能判斷h₄＞h₂，不能判斷h₃＞h₁，即不能得出S₃＞S₁，∴②錯(cuò)誤；
根據(jù)S₃=2S₁，能得出h₃=2h₁，不能推出h₄=2h₂，即不能推出S₄=2S₂，∴③錯(cuò)誤；
∵S₁-S₂=S₃-S₄，
∴S₁+S₄=2₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，
此時(shí)S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，
即P點(diǎn)一定在對(duì)角線BD上，
∴④正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，以及平行四邊形對(duì)角線上點(diǎn)的判定的應(yīng)用，用平行四邊形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．