Question

17．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0．
（1）求證：方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）k取何值時(shí)，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再根據(jù)根的判別式判斷即可；
（2）根據(jù)已知得出$\frac{c}{a}$＜0，代入求出即可．

解答 （1）證明：∵△=[-（2k+1）]²-4（k²+1）=1＞0，
∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為e、f，
則ef=k（k+1），
當(dāng)k（k+1）＜0時(shí)，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
即-1＜k＜0時(shí)，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，能理解知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意：要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．