Question

15．使$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$取最小值的實數(shù)a的值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$=$\sqrt{（a-3）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{2}^{2}}$，可知欲求$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$的最小值，相當于在x軸上找一點P（a，0），d到A（1，2），B（3，5）的距離之和最小．

解答 解：∵$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$=$\sqrt{（a-3）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{2}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{a}^{2}-6a+34}$+$\sqrt{{a}^{2}-2a+5}$的最小值，相當于在x軸上找一點P（a，0），d到A（1，2），B（3，5）的距離之和最小，
作點A關(guān)于x軸的對稱點A′（1，-2），連接A′B交x軸于P，點P即為所求，
易知直線A′B的解析式為y=3x-4，令y=0，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0），
∴a=$\frac{4}{3}$．
故答案為$\frac{4}{3}$

點評 本題主要考查了最短路線問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)建一次函數(shù)求解是解題關(guān)鍵．