Question

11．已知點A（1，7）、B（3，2），點P是y軸上一動點．
（1）PA+PB的最小值是$\sqrt{41}$；
（2）若點Q也是y軸上的點，且PQ=3，則當以A、B、P、Q四點為頂點，四邊形的周長最小時，點P的坐標是（0，$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{13}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B與y軸的交點為P，此時PA+PB最小，求出A′B的長即可．
（2）因為PA+QB最小時，四邊形APQB周長最小，將點B向上平移3個單位得B′點，連接A′B′交y軸于點P，此時PA+QB=PB′+PA′=A′B′最小，求出直線A′B即可解決，注意有兩解．

解答 解：（1）如圖1中，作的A關于y軸的對稱點A′，連接A′B與y軸的交點為P，此時PA+PB最�。�

PA+PB最小值=PA′+PB=A′B，
∵A′（-1，7），B（3，2），
∴A′B=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=41．
故答案為$\sqrt{41}$．
（2）如圖2中，

∵AB、PQ是定值，
∴PA+QB最小時，四邊形APQB周長最小，
將點B向上平移3個單位得B′點，連接A′B′交y軸于點P，此時PA+QB=PB′+PA′=A′B′最小，
設直線A′B′為y=kx+b則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=7}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線A′B′為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{13}{2}$，
∴點P坐標為（0，$\frac{13}{2}$），點Q坐標（0，$\frac{7}{2}$），
∵P、Q位置可以互換，
∴點P坐標（0，$\frac{7}{2}$），點Q坐標（0，$\frac{13}{2}$）．
∴點Q坐標（0，$\frac{7}{2}$），（0，$\frac{13}{2}$）．
故答案為（0，$\frac{7}{2}$），（0，$\frac{13}{2}$）．

點評 本題考查軸對稱-最短問題，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是利用軸對稱正確找到點P的位置，學會利用函數(shù)解決交點坐標問題，屬于中考常考題型．