Question

11．根據(jù)下列各式中的規(guī)律，解決問題：
∵1³+2³=1+8=9，（1+2）²=9，∴1³+2³=（1+2）²=9；
∵1³+2³+3³=1+8+27=36，（1+2+3）²=36，∴1³+2³+3³=（1+2+3）²=36；
…
（1）填空：1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225；
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n為整數(shù)）；
（2）求1³+2³+…+49³+50³的值；
（3）求11³+12³+…+98³+99³的值．

Answer 1

分析 （1）仿照例題，代入數(shù)據(jù)求值；對應(yīng)1+2+3+…+n來說，我們發(fā)現(xiàn)第一項和最后一項，第二項和倒數(shù)第二項…它們的和相等，即能得出1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，將其代入例題給定算式中即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合給定例題與（1）中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果；
（3）將原式補全，加上1³+2³+3³+…+10³再減去1³+2³+3³+…+10³，將數(shù)據(jù)代入（1）的結(jié)論中即可算出結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)給定例子可知：
1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225；
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=$[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}$．
故答案為：1+2+3+4+5+6；225；1+2+3+…+n；$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）1³+2³+…+49³+50³=（1+2+3+…+50）²=$（\frac{50×51}{2}）^{2}$=1275²=1625625．
（3）11³+12³+…+98³+99³的=（1+2+3…+99）²-（1+2+3+…+10）²=$（\frac{99×100}{2}）^{2}$-$（\frac{10×11}{2}）^{2}$=4950²-55²=24499475．

點評 本題考查了數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)給定例題以及數(shù)列求和找出1³+2³+3³+…+n³=$[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}$．本題屬于中檔題，難度不大，但在數(shù)列求和處需做特殊說明，畢竟初中沒有學(xué)到等差數(shù)列的求和公式．