Question

16．如圖，頂點(diǎn)M（0，-1）在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，連結(jié)AM，BM．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和這個(gè)拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱為拋物線的不動(dòng)點(diǎn)．若將（1）中拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A是直線y=x+1與x軸的交點(diǎn)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將拋物線的解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入該解析式，就可解決問(wèn)題；
（2）只需解直線與拋物線的解析式組成的方程組，然后解這個(gè)方程組就可解決問(wèn)題；
（3）將平移后的拋物線的解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后把y=x代入該解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，要使平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)，只需該一元二次方程的根的判別式大于等于0即可．

解答 解：∵點(diǎn)A是直線y=x+1與x軸的交點(diǎn)，
∴A（-1，0）．
設(shè)頂點(diǎn)為（0，-1）的拋物線的解析式為y=ax²-1，
∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=ax²-1上，
∴0=a-1，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-1；

（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）；

（3）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m，
把y=x代入y=（x-m）²+2m，得
x=（x-m）²+2m，
整理得，x²-（2m+1）x+m²+2m=0，
由題可得△=（2m+1）²-4×1×（m²+2m）=1-4m≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$．
故當(dāng)m≤$\frac{1}{4}$時(shí)，平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的解析式的交點(diǎn)、根的判別式等知識(shí)，通�？蓪⒅本�與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題．