Question

18．在圓O中，AC是圓的弦，AB是圓的直徑，AB=6，∠ABC=30°，過點C作圓的切線交BA的延長線于點P，連接BC．
（1）求證：△PAC∽△PCB；
（2）點Q在半圓ADB上運(yùn)動，填空：
①當(dāng)AQ=3$\sqrt{2}$時，四邊形AQBC的面積最大；
②當(dāng)AQ=3或3$\sqrt{3}$時，△ABC與△ABQ全等．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)得出OC⊥PC，推出∠PCA+∠ACO=90°，由圓周角定理得出∠B+∠CAB=90°，證出∠OAC=∠OCA，推出∠B+∠OCA=90°，得出∠PCA=∠B，即可得出結(jié)論；
（2）①當(dāng)點Q運(yùn)動到OQ⊥AB時，四邊形AQBC的面積最大；連接AQ、BQ，由線段垂直平分線性質(zhì)得出OQ=BQ，由圓周角定理得出∠AQB=90°，證出△ABQ是等腰直角三角形，得出AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
②由直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BC=$\sqrt{3}$AC=3$\sqrt{3}$，分兩種情況討論，由全等三角形的判定即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1所示，連接OC．
∵PC是圓O的切線，OC是半徑，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠B+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠B，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB；
（2）解：①當(dāng)點Q運(yùn)動到OQ⊥AB時，四邊形AQBC的面積最大；
如圖2所示：連接AQ、BQ，
∵OA=OB，OQ⊥AB，
∴OQ=BQ，
∵AB是直徑，
∴∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$；
②如圖3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=3，BC=$\sqrt{3}$AC=3$\sqrt{3}$，
分兩種情況：
a．當(dāng)AQ=AC=3時，
在Rt△ABC和Rt△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{AC=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABQ（HL）；
b．當(dāng)AQ=BC=3$\sqrt{3}$時，同理△ABC≌△BAQ；
綜上所述：當(dāng)AQ=3或3$\sqrt{3}$時，△ABC與△ABQ全等．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．