Question

9．（1）已知n=$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{（n-1）n}{1•2}$
那么1+2+3+…+n=$\frac{1•2}{1•2}$-$\frac{0•1}{1•2}$+$\frac{2•3}{1•2}$-$\frac{1•2}{1•2}$+$\frac{3•4}{1•2}$-$\frac{2•3}{1•2}$+…+$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{（n-1）n}{1•2}$，
即1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{0•1}{1•2}$=$\frac{n（n+1）}{1•2}$．
模仿上述求和過程，設(shè)n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$，確定a與b的值，并計(jì)算1²+2²+3²+…+n²的結(jié)果．
（2）圖1中，拋物線y=x²，直線x=1與x軸圍成底邊長(zhǎng)為1的曲邊三角形，其面積為S，現(xiàn)利用若干矩形面積和來逼近該值．
①將底邊3等分，構(gòu)建3個(gè)矩形（見圖2），求其面積為S₃；
②將底邊n等分，構(gòu)建n個(gè)矩形（如圖3），求其面積和S_n并化簡(jiǎn)；
③考慮當(dāng)n充分大時(shí)S_n的逼近狀況，并給出S的準(zhǔn)確值．
（3）計(jì)算圖4中拋物線y=2x²與直線y=2x+4所圍成的陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）將n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$通分化簡(jiǎn)，根據(jù)恒等式的性質(zhì)，列出方程即可解決問題．再模仿例題即可解決問題．
（2）①根據(jù)矩形的面積公式即可即可．
②根據(jù)矩形的面積公式以及（1）中的結(jié)論即可即可．
③由S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$=$\frac{2{n}^{3}+{3n}^{2}+n}{6{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{6{n}^{2}}$，因?yàn)閚充分大時(shí)，$\frac{1}{2n}$、$\frac{1}{6{n}^{2}}$接近于0，所以S_n的值逼近于$\frac{1}{3}$．
（3）如圖4中，設(shè)拋物線y=2x²與直線y=2x+4的交點(diǎn)為A、B，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．記曲邊三角形AEO的面積為S₁，曲邊三角形OBF的面積為S₂．首先利用逼近法求出S₁、S₂，再根據(jù)S_陰=S_梯形AEFB-S₁-S₂計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$=$\frac{（{n}^{2}+n）（an+b）-（{n}^{2}-n）（an-a+b）}{6}$=$\frac{3a{n}^{2}-an+2bn}{1•2•3}$，
∴a=2，b=1時(shí)等式成立．
∴1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1•2•3}{1•2•3}$-$\frac{0}{1•2•3}$+$\frac{2•3•5}{1•2•3}$-$\frac{1•2•3}{1•2•3}$+…$\frac{n（n+1）（2n+1）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n（2n-1）}{1•2•3}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

（2）①S₃=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$•（$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{3}$）²=$\frac{1}{27}$（1²+2²+3²）=$\frac{14}{27}$．

②由①可知S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$．

③∵S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$=$\frac{2{n}^{3}+{3n}^{2}+n}{6{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{6{n}^{2}}$，
∵n充分大時(shí)，$\frac{1}{2n}$、$\frac{1}{6{n}^{2}}$接近于0，
∴S_n的值逼近于$\frac{1}{3}$，
∴S=$\frac{1}{3}$．

（3）如圖4中，設(shè)拋物線y=2x²與直線y=2x+4的交點(diǎn)為A、B，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F．記曲邊三角形AEO的面積為S₁，曲邊三角形OBF的面積為S₂．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$交點(diǎn)$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴A（-1，2），B（2，8），E（-1，0），F(xiàn)（2，0），
將底邊EO分成n等分，構(gòu)建n個(gè)矩形
S₁=$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{1}{n}$）²+$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{2}{n}$）²+…+$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{2}{{n}^{3}}$（1+2²+3²+…+n²），
由（2）
可知S₁逼近于$\frac{2}{3}$，同理可得S₂逼近于$\frac{16}{3}$，
∴S_陰=S_梯形AEFB-S₁-S₂=$\frac{2+8}{2}$•3-$\frac{2}{3}$-$\frac{16}{3}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)、逼近法求面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題，屬于創(chuàng)新題目，中考?jí)狠S題．