Question

18．如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=x²-2x與x軸交于O、B兩點，頂點為P，連接OP、BP，直線y=x-4與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（Ⅰ）直接寫出點B坐標（2，0）；判斷△OBP的形狀等腰直角三角形；
（Ⅱ）將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度，平移的過程中交y軸于點A，分別連接CP、DP；
（i）若拋物線向下平移m個單位長度，當S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC時，求平移后的拋物線的頂點坐標；
（ii）在平移過程中，試探究S_△PCD和S_△POD之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應關(guān)系，可得B點坐標，根據(jù)配方法，可得頂點坐標，根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應關(guān)系，可得C，D，M點坐標，根據(jù)平移規(guī)律，可得P點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PM的長，（i）根據(jù)面積的關(guān)系，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得到頂點坐標；（ii）根據(jù)三角形的面積，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）當y=0時，x²-2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B點坐標為（2，0），
∵拋物線y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴P點坐標為（1，-1），由勾股定理，得
OP²=（2-1）²+1²=2，
∴OP²+BP²=OB²，OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案為：（2，0），等腰直角三角形；
（Ⅱ）∵直線y=x-4與y軸交于點C，與x軸交于點D，
∴C（0，-4），D（4，0），當x=1時，y=-3，即M（1，-3），
拋物線向下平移m個單位長度，解析式為y=（x-1）²-（1+m），P（1，-1-m），
∴PM=|-（1+m）+3|=|m-2|，
S_△PCD=S_△PMC+S_△PMD=$\frac{1}{2}$•PM•|x_P-x_C|=$\frac{1}{2}$•|m-2|×4=2|m-2|，
（i）S_△POC=$\frac{1}{2}$•AC•|x_P|=$\frac{1}{2}$×4×1=2，∵S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC，∴S_△PCD=2|m-2|=2$\sqrt{2}$，解得m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$，∴P（1，-3-$\sqrt{2}$）或（1，-3+$\sqrt{2}$）；
（ii）S_△POD=$\frac{1}{2}$OD•|y_P|=$\frac{1}{2}$×4×|1-（1+m）|=2|m+1|，
①當m≥2時，S_△PCD=2|m-2|=2m-4，S_△POD=2|m+1|=2m+2，∴S_△POD-S_△PCD=6
②當-1≤m＜2時，S_△PCD=2|m-2=4-2m，S_△POD=2|m+1|=2m+2，∴S_△POD+S_△PCD=6
③當m＜-1時，S_△PCD=2|m-2|=4-2m，S_△POD=2|m+1|=2-2m，∴S_△POD-S_△PCD=6，
綜上所述：當m≥2時，S_△POD-S_△PCD=6；當-1≤m＜2時，S_△POD+S_△PCD=6；當m＜-1時，S_△POD-S_△PCD=6．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（Ⅰ）的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理；解（Ⅱ）的關(guān)鍵是利用三角形的面積得出關(guān)于m的方程，又利用了平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標減較小的縱坐標得出PM的長，（ii）要分類討論，以防遺漏．