Question

2．△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）求證：AC=2FD．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥BC，D是BC的中點，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可證得△ABC∽△FCD；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）∵D是BC的中點，
∴BC=2CD，
∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2FD．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．