Question

2．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接把A點和C點坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；
（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{3}{2}$，則D（$\frac{3}{2}$，0），則利用勾股定理計算出CD=$\frac{5}{2}$，然后分類討論：如圖1，當(dāng)CP=CD時，利用等腰三角形的性質(zhì)易得P₁（$\frac{3}{2}$，4）；當(dāng)DP=DC時，易得P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
（3）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)E（x，-$\frac{1}{2}$x+2）（0≤x≤4），則F（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），則FE=-$\frac{1}{2}$x²+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$•4•EF=-x²+4x，加上S_△BCD=$\frac{5}{2}$，所以S_{四邊形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD=-x²+4x+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時E點坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在．
拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
則D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
如圖1，當(dāng)CP=CD時，則P₁（$\frac{3}{2}$，4）；
當(dāng)DP=DC時，則P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
（3）當(dāng)y=0時，=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，則B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)E（x，-$\frac{1}{2}$x+2）（0≤x≤4），則F（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
∴FE=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
∵S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$•4•EF=2（-$\frac{1}{2}$x²+2x）=-x²+4x，
而S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2×（4-$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四邊形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD
=-x²+4x+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4），
=-（x-2）²+$\frac{13}{2}$
當(dāng)x=2時，S_{四邊形CDBF}有最大值，最大值為$\frac{13}{2}$，此時E點坐標(biāo)為（2，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活應(yīng)用三角形的面積公式；學(xué)會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．