Question

17．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AC？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，由PQ∥AC，得到△BPQ∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以知道這個(gè)直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ與PB的關(guān)系，要分情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{3-t}{3}=\frac{t}{3}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，PQ∥AC；

（2）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，
在△ABC中，∵AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
即3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2（秒）．
綜上所述：當(dāng)t=1秒或t=2秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．