Question

7．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AC、BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接BC，CD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）△BCD是直角三角形嗎？為什么？
（3）求∠E的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式直接寫出拋物線解析式，然后配成頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出BC、CD和BD，然后利用勾股定理的逆定理可證明△BCD是直角三角形；
（3）通過證明△BCD∽△COA得到∠CBD=∠OCA，再利用三角形外角性質(zhì)得∠ACB=∠CBD+∠E，于是得到∠E=∠OCB=45°．

解答 解：（1）拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）△BCD是直角三角形． 理由如下：
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3），
∵BC²=3²+3²=18，CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°；
（3）∵OC=OB，
∴△OCB為等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵OA=1．OC=3，CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CD}{OA}=\frac{BC}{CO}=\sqrt{2}$，
又∵∠BCD=∠COA=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴∠CBD=∠OCA．
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，
∴∠E=∠OCB=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；靈活應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)解決角度相等的問題．