Question

9．如圖，拋物線y=a（x-1）（x-3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．
（1）寫出C，D兩點的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
（2）設(shè)S_△BCD：S_△ABD=k，求k的值；
（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時，求對應(yīng)拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0可求得C點坐標(biāo)，化為頂點式可求得D點坐標(biāo)；
（2）令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合D點坐標(biāo)可求得△ABD的面積，設(shè)直線CD交x軸于點E，由C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式，則可求得E點坐標(biāo)，從而可表示出△BCD的面積，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐標(biāo)，可表示出BC²、BD²和CD²，分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式．

解答 解：
（1）在y=a（x-1）（x-3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x-1）（x-3）=a（x²-4x+3）=a（x-2）²-a，
∴D（2，-a）；
（2）在y=a（x-1）（x-3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×a=a，
如圖，設(shè)直線CD交x軸于點E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，

把C、D的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=3a}\\{2k+b=-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2a}\\{b=3a}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=-2ax+3a，令y=0可解得x=$\frac{3}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，0），
∴BE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴S_△BCD=S_△BEC+S_△BED=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×（3a+a）=3a，
∴S_△BCD：S_△ABD=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，-a），
∴BC²=3²+（3a）²=9+9a²，CD²=2²+（-a-3a）²=4+16a²，BD²=（3-2）²+a²=1+a²，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD為直角三角形時，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，
①當(dāng)∠CBD=90°時，則有BC²+BD²=CD²，即9+9a²+1+a²=4+16a²，解得a=-1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x²-4x+3；
②當(dāng)∠CDB=90°時，則有CD²+BD²=BC²，即4+16a²+1+a²=9+9a²，解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x²-4x+3或y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意拋物線頂點式的應(yīng)用，在（2）中用a表示出兩三角形的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中由勾股定理得到關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．