Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線l經(jīng)過O、C兩點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，4），動點(diǎn)P在線段OA上從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線O一C-B相交于點(diǎn)M．當(dāng)M、Q兩點(diǎn)相遇時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒（t＞0）．△MPQ的面積為S．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），直線l的解析式為y=$\frac{4}{3}$x；
（2）若拋物線C′經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)，則拋物線C′的開口方向：向下，對稱軸方程：x=4；
（3）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出直線l的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、O、C的位置可得拋物線C′的開口方向向下，對稱軸為x=4；
（3）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分三種情況討論：①當(dāng)0＜t≤$\frac{5}{2}$時；②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t≤3時；③當(dāng)3＜t＜$\frac{16}{3}$時，分別表示出MP、PE的長度，然后根據(jù)S=$\frac{1}{2}$•MP•PE，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)配方法求出S的最大值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，4），四邊形OABC是平行四邊形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4），
∴直線l的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x；

（2）∵拋物線C′經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)，
∴拋物線C′的開口向下，
對稱軸為：x=4；

（3）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分三種情況討論：
①當(dāng)0＜t≤$\frac{5}{2}$時，如圖1，M點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，$\frac{4}{3}$t）．
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，可得△AEQ∽△ODC．
∴$\frac{AQ}{OC}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{QE}{CD}$，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{AE}{3}$=$\frac{QE}{4}$，
∴AE=$\frac{6t}{5}$，EQ=$\frac{8}{5}$t．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（8+$\frac{6t}{5}$，$\frac{8}{5}$t），
∴PE=8+$\frac{6t}{5}$-t=8+$\frac{1}{5}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•（8+$\frac{1}{5}$t）=$\frac{2}{15}$t²+$\frac{16}{3}$t=$\frac{2}{15}$（t+20）²-$\frac{160}{3}$，
∵當(dāng)0＜t≤$\frac{5}{2}$時，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時，S有最大值，最大值為$\frac{85}{6}$．
②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t≤3時，如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•（16-3t）=-2t²+$\frac{32}{3}$t=-2（t-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{128}{9}$，
∴當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時，S有最大值，最大值為$\frac{128}{9}$，
③當(dāng)3＜t＜$\frac{16}{3}$時，如圖3，
∴MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
∴S=$\frac{1}{2}$•MP•PE=$\frac{1}{2}$•4•（16-3t）=-6t+32．
∵k=-6＜0．
∴S隨t的增大而減小．
又∵當(dāng)t=3時，S=14．當(dāng)t=$\frac{16}{3}$時，S=0．
∴0＜S＜14．
綜上所述，S與t函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{15}{t}^{2}+\frac{16}{3}t（0＜t≤\frac{5}{2}）}\\{-2{t}^{2}+\frac{32}{3}t（\frac{5}{2}＜t≤3）}\\{-6t+32（3＜t＜\frac{16}{3}）}\end{array}\right.$，
當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時，S有最大值，最大值為$\frac{128}{9}$．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線最大值的求法和動點(diǎn)問題等知識點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，此題難度較大．