Question

17．已知，如圖矩形ABCD，CE⊥BD，∠DCE：∠ECB=3：1，求證：CE=DE．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出∠BCD=90°，OB=OC，得出∠OCB=∠OBC，求出∠ECB，得出∠OBC、OCB、∠OCE，證出△OCE是等腰直角三角形，即可得出CE=OE．

解答 證明：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠DCE：∠ECB=3：1，
∴∠ECB=$\frac{1}{4}$×90°=22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∴∠OBC=90°-22.5°=67.5°，
∴∠OCB=67.5°，
∴∠OCE=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE=OE．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．