Question

8．如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=56°，則∠DPE=56度．（直接填寫(xiě)答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，證明△BCP≌△DCP；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBP=∠CDP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBP=∠E，證明∠DPE=∠DCE=90°，得到答案；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)、仿照（2）的證明方法解答即可．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=56°，
故答案為：56．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．