Question

12．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，AB=6，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE．將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)α=0°時，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{5}{4}$；
②當(dāng)α=180°時，$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$．
（2）拓展探究：
試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時，$\frac{AE}{DB}$的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．
（3）問題解決：
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的$\frac{AE}{BD}$值是多少．
②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據(jù)$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{DB}$的值是多少即可．
（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{5}{4}$，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．
（3）分兩種情況分析，A、D、E三點所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)α=0°時，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=4
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{5}{4}$．
②如圖1，
當(dāng)α=180°時，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$$\frac{10}{8}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：①$\frac{5}{4}$，②$\frac{5}{4}$．

（2）如圖2，
當(dāng)0°≤α＜360°時，$\frac{AE}{DB}$的大小沒有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{5}{4}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{5}{4}$．

（3）①如圖3，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=AD+DE=2$\sqrt{21}$+3，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{4}{5}$AE=$\frac{8\sqrt{21}+12}{5}$；
②如圖4，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=AD-DE=2$\sqrt{21}$-3，
由（2），可得：$\frac{AE}{DB}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{4}{5}$AE=$\frac{8\sqrt{21}-12}{5}$．
綜上所述，BD的長為$\frac{8\sqrt{21}±12}{5}$．

點評 此題屬于旋轉(zhuǎn)的綜合題．考查了、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．