Question

1．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供做題時使用）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=AQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=CQ，根據(jù)勾股定理求出AB，列式計算即可；
（2）作PM⊥BE，交BE于M，根據(jù)正弦的定義用含t的代數(shù)式表示PM，根據(jù)三角形的面積公式求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最小值；
（3）作PN⊥AC，交AC于N，證明△PAN∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PN=6-$\frac{6}{5}$t，AN=8-$\frac{8}{5}$t，證明△QCF∽△QNP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP=AQ，
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°，
∴∠DEF=∠EQC，
∴CE=CQ，
由題意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=10cm，
則AP=10-2t，
∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
答：當(dāng)t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；
（2）過P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PM}{PB}$，
∴$\frac{PM}{2t}$=$\frac{8}{10}$，
解得，PM=$\frac{8}{5}$t，
∵BC=6cm，CE=t，
∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE
=$\frac{1}{2}$×BC×AC-$\frac{1}{2}×$BE×PM
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}×$（6-t）×$\frac{8}{5}$t
=$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+24
=$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{84}{5}$，
∵a=$\frac{4}{5}$＞0，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)t=3時，y_最小=$\frac{84}{5}$，
答：當(dāng)t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為$\frac{84}{5}$cm²；
（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上，
過P作PN⊥AC，交AC于N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{PN}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{AN}{8}$，
解得，PN=6-$\frac{6}{5}$t，AN=8-$\frac{8}{5}$t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{3}{5}$t，
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴$\frac{PN}{FC}$=$\frac{NQ}{CQ}$，即$\frac{6-\frac{6}{5}t}{9-t}$=$\frac{\frac{3}{5}t}{t}$，
解得：t=1，
答：當(dāng)t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值的確定，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．