Question

18．已知，∠EPF的角平分線上有一點O，以點0為圓心的圓與角的兩邊分別交于A，B和C，D．易證：AB=CD．
當點P在⊙O外（如圖二），點P在⊙O內(nèi)，（如圖三）的位置時，請你猜想并寫出AB與CD的數(shù)量關(guān)系？并選擇其中一種情況加以證明．

Answer 1

分析 對于圖②：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，連結(jié)OB、OD，根據(jù)垂徑定理得到AG=BG，CH=DH，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OG=OH，然后證明Rt△OBG≌Rt△ODH得到BG=DH，則AB=CD；
對于圖③：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，則AG=GB，CH=HD，證明的方法與圖②一樣．

解答 解：AB=CD．理由如下：
對于圖②：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，連結(jié)OB、OD，則AG=BG，CH=DH，
∵PO平分∠EPF，
∴OG=OH，
在Rt△OBG和△ODH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBG≌Rt△ODH（HL），
∴BG=DH，
∴AB=CD；
對于圖③：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，則AG=GB，CH=HD，證明的方法與圖②一樣．

點評 本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定．