Question

7．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點(diǎn)是CD所在指向下方該拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，連接BD，點(diǎn)P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)所在的直線列式求出b的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出c的值，即可得解；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)平行線間的距離相等以及三角形的面積可知當(dāng)過點(diǎn)M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)M到CD的距離最大此時MN的值最大，把拋物線與直線的解析式聯(lián)立消掉未知數(shù)y，利用根的判別式列式計(jì)算即可得解；
（3）分兩種情形討論即可①當(dāng)B為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時，直線PB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+4，②當(dāng)D為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時，直線PD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，分別列出方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)；

解答 解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上，
∴-$\frac{2a}$=$\frac{5}{2}$，
解得b=-$\frac{10}{3}$，
∵拋物線y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），
∴c=4，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以，直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，
當(dāng)過點(diǎn)M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)M到CD的距離最大，此時MN的值最大，
此時，設(shè)過點(diǎn)M的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+m，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$，
消掉y得，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{4}{3}$x+m，
整理得，2x²-14x+12-3m=0，
△=b²-4ac=（-14）²-4×2×（12-3m）=0，
解得m=-$\frac{25}{6}$，
此時，x=-$\frac{-14}{2×2}$=$\frac{7}{2}$，
y=$\frac{4}{3}$×$\frac{7}{2}$-$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$，
所以，點(diǎn)M（ $\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$）使MN的值最大．

（3）四邊形ABCD是菱形時，點(diǎn)C、D在該拋物線上．
理由如下：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，
∴D（2，0），
∴直線BD的解析式為y=-2x+4，
①當(dāng)B為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時，直線PB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{23}{4}}\\{y=\frac{55}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{23}{4}$，$\frac{55}{8}$）．
②當(dāng)D為Rt△PBD 直角頂點(diǎn)時，直線PD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{15}{4}$，$\frac{7}{8}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{23}{4}$，$\frac{55}{8}$）或（$\frac{15}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，平行直線的解析式的k值相等，三角形的面積，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷出過點(diǎn)M與AB平行的直線只有一個交點(diǎn)時MN的值最大．