Question

18．如圖，二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象與x軸交于A、B兩點，頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AM與y軸交于點C，求△BCM的面積；
（3）在拋物線上是否還存在點P，使得S_△PMB=S_△BCM？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）所給二次函數(shù)解析式是頂點式，而頂點坐標(biāo)是（1，-4），易求m、k的值，再把所求m、k的值代入二次函數(shù)中，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，可求x=3或x=-1，進而可得A、B的坐標(biāo)；
（2）首先求出直線AM的解析式，從而可得C點坐標(biāo)（0，-2），利用S_△BCM=S_△ABM+S_△ABC，進而可求其面積；
（3）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，那么過點C作BM的平行線，觀察可知與拋物線有2個交點，進而聯(lián)立函數(shù)解析式得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，可得-m=1，k=-4，
解得：m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函數(shù)解析式，得
y=（x-1）²-4，
令y=0，得（x-1）²-4=0，
解得：x=3或x=-1，
∴A點坐標(biāo)是（-1，0），B點坐標(biāo)是（3，0）；

（2）如圖所示：設(shè)AM所在直線解析式為：y=kx+b，
將A（-1，0），M（1，-4），代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故AM所在直線解析式為：y=-2x-2，
令x=0，得y=-2，
∴點C的坐標(biāo)是（0，-2），
∵B（3，0），C（0，-2），M（1，-4），
S_△BCM=S_△ABM+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×4-$\frac{1}{2}$×AB×CO=8-4=4；

（3）如圖所示：過點C作BM的平行線，此時直線BM與拋物線的交點即為P點坐標(biāo)，
設(shè)BM所在直線解析式為：y=ax+c，將B，M分別代入函數(shù)解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-4}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
故BM所在直線解析式為：y=2x-6，
∵CN∥BM，
∴設(shè)直線CN的解析式為：y=2x+d，
將C點代入可得：y=2x-2，
故將y=2x-2與y=（x-1）²-4聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=（x-1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2-\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=2-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=2+2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
故P點坐標(biāo)為：（2-$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$），（2+$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，解題關(guān)鍵是注意掌握二次函數(shù)頂點式的表示方法以及求任意三角形面積時，同底等高的三角形面積相等．