Question

17．如圖，已知拋物線y=-x²+2x經(jīng)過原點O，且與直線y=x-2交于B，C兩點．
（1）求拋物線的頂點A的坐標(biāo)及點B，C的坐標(biāo)；
（2）求證：∠ABC=90°；
（3）在直線BC上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積最大？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標(biāo)；
（2）由A、B、C的坐標(biāo)可求得AB²、BC²和AC²，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；
（3）過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，設(shè)出P點坐標(biāo)，則可表示出G點坐標(biāo)，從而可表示出PG的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時P點坐標(biāo)；
（4）設(shè)出M、N的坐標(biāo)，則可表示出MN和ON的長度，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于N點坐標(biāo)的方程可求得N點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴拋物線頂點坐標(biāo)A（1，1），
聯(lián)立拋物線與直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）證明：
由（1）可知B（2，0），C（-1，-3），A（1，1），
∴AB²=（1-2）²+1²=2，BC²=（-1-2）²+（-3）²=18，AC²=（-1-1）²+（-3-1）²=20，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°；

（3）如圖，過點P作PG∥y軸，交直線BC于點G，

設(shè)P（t，-t²+2t），則G（t，t-2），
∵點P在直線BC上方，
∴PG=-t²+2t-（t-2）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，
∴S_△PBC=S_△PGB+S_△PGC=$\frac{1}{2}$PG[2-（-1）]=$\frac{3}{2}$PG=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，S_△PBC有最大值，此時P點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
即存在滿足條件的點P，其坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；

（4）∵∠ABC=∠ONM=90°，
∴當(dāng)△OMN和△ABC相似時，有$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$或$\frac{ON}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$，
設(shè)N（m，0），
∵M(jìn)N⊥x軸，
∴M（m，-m²+2m），
∴MN=|-m²+2m|，ON=|m|，
①當(dāng)$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$時，即$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，解得m=5或m=-1或m=0（舍去）；
②當(dāng)$\frac{ON}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$時，即$\frac{|m|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{\sqrt{2}}$，解得m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$或m=0（舍去）；
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為（5，0）或（-1，0）或（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點、勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得其交點坐標(biāo)，在（2）中利用勾股定理分別表示出AB、AC、BC是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標(biāo)表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵，在（4）中用N點坐標(biāo)分別表示出ON、MN，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于N點坐標(biāo)的方程解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．