Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作⊙A交AB于點(diǎn)D，交CA的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F，連接AF、BF，DF．
（1）求證：BF⊥AF；
（2）當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí)，四邊形ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等即可；
（2）當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形．

解答 （1）證明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠FAB=∠CAB}&{\;}\\{AB=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AF；

（2）解：當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形．理由如下：
∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四邊形ADFE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，難度不大．