Question

12．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC邊上一點，BN⊥AD交AD的延長線于點N．

（1）如圖1，若CM∥BN交AD于點M．
①直接寫出圖1中所有與∠MCD相等的角：∠CAD，∠CBN；（注：所找到的相等關(guān)系可以直接用于第②小題的證明過程
②過點C作CG⊥BN，交BN的延長線于點G，請先在圖1中畫出輔助線，再回答線段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
（2）如圖2，若CM∥AB交BN的延長線于點M．請證明：∠MDN+2∠BDN=180°．

Answer 1

分析 （1）①結(jié)論：∠CAD、CBN．利用同角的余角相等，平行線的性質(zhì)即可證明．
②由△ACM≌△BCG，推出CM=CG，AM=BG，由∠CMN=∠MNG=∠G=90°，推出四邊形MNGC是矩形，推出CM=GN=CG，由此即可證明．
（2）過點C作CE平分∠ACB，交AD于點E．由△ACE≌△BCM（ASA），推出CE=CM，又因為∠1=∠2，CD=CD，推出∠CDE=∠CDM，由∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°，即可證明．

解答 解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN，
∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°，
∴∠MCD=∠CAD，
故答案為∠CAD、∠CBN．

②在圖1中畫出圖形，如圖所示，

結(jié)論：AM=CG+BN，
證明：在△ACM和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CBG}\\{∠AMC=∠G=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCG，
∴CM=CG，AM=BG，
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°，
∴四邊形MNGC是矩形，
∴CM=GN=CG，
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG．

（2）過點C作CE平分∠ACB，交AD于點E．

∵在△ACD和△BDN中，∠ACB=90°，AN⊥ND
∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN
又∵∠ADC=∠BDN
∴∠4=∠5，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE平分∠ACB，
∴∠6=45°，∠2=∠3=45°
又∵CM∥AB，
∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3，
在△ACE和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠5}\\{AC=BC}\\{∠3=∠1}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCM（ASA）
∴CE=CM
又∵∠1=∠2，CD=CD
∴∠CDE=∠CDM
又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°
∴∠MDN+2∠BDN=180°．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線、構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．