Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0）為圓心，以2$\sqrt{3}$為半徑的圓與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于D，E兩點(diǎn)．
（1）寫出B，C，D點(diǎn)坐標(biāo)（不寫計(jì)算過程）
（2）若B、C、D三點(diǎn)在拋物線y=ax²+bx+c上，求這個(gè)拋物線的解析式．
（3）若圓A的切線交于x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸與點(diǎn)N，切點(diǎn)為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過所示拋物線的頂點(diǎn)？說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)得出B，C的坐標(biāo)．
（2）求出B、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答；
（3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據(jù)三角函數(shù)求出BN的長，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AD，得OA=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴D（0，-3），
∵點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0）為圓心，以2$\sqrt{3}$為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
∴B（-$\sqrt{3}$，0），C（3$\sqrt{3}$，0）；

（2）∵B（-$\sqrt{3}$，0），C（3$\sqrt{3}$，0），D（0，-3）
∴將B，C，D三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=3a-\sqrt{3}b+c}\\{0=27a+3\sqrt{3}b+c}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}\sqrt{3}}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴拋物線為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-3．

（3）如圖2，連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2$\sqrt{3}$
∴AM=4$\sqrt{3}$
∴M（5$\sqrt{3}$，0）
∵ON=MO×tan30°=5$\sqrt{3}$
∴N（0，-5）
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，由于點(diǎn)M（5$\sqrt{3}$，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則$\left\{\begin{array}{l}{5\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
∴直線MN的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-5
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，-4），
當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，y=-4
∴點(diǎn)（$\sqrt{3}$，-4）在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-5上，即直線MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問題相結(jié)合，培養(yǎng)了同學(xué)們的實(shí)際應(yīng)用能力，注意利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．