Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D、T是圓上的兩點(diǎn)，且AT平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)T作AD延長(zhǎng)線的垂線PQ，垂足為C．   
（1）求證：PQ是⊙O切線；
（2）若⊙O半徑為2，TC=$\sqrt{3}$．①求AD；②求陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）要證明PQ是⊙O的切線只要證明OT⊥PQ即可；
（2）①作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，根據(jù)勾股定理求得AM，進(jìn)而求得AD=2，；
②得出等邊三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面積和扇形OTD的面積．相減即可求出答案．

解答 （1）證明：連接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切線．

（2）解：①過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于M，則AM=MD；
又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四邊形OTCM為矩形，
∴OM=TC=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∴AD=2AM=2．
∵OA=OD=2；
②∵OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠AOD=∠OAD=60°，
∵OT∥AC，
∴∠AOT=120°，
∴∠TOD=120°-60°=60°，
∵OT=OD，
∴△PDT是等邊三角形，
∴∠OTD=60°
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=30°，
∴tan30°=$\frac{DC}{TC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴陰影部分的面積是S_梯形OTCD-S_扇形OTD=$\frac{1}{2}$×（2+1）×$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，扇形的面積，梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．