Question

8．已知直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），且滿足|a-b+5|+$\sqrt{2a+b+1}$=0．
（1）若點(diǎn)C在y軸上，且S_△ABC=10，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AC，BC，作AD⊥BC于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，CF和AF分別平分∠BCO和∠BAD，求∠AFC的度數(shù)；
（3）如圖2，若點(diǎn)C在第二象限，且CO平分∠ACB，點(diǎn)P是x軸上點(diǎn)A左側(cè)一動點(diǎn)，PQ⊥OC于點(diǎn)Q，交AC和BC于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，$\frac{∠BAC-∠ABC}{∠APN}$的值是否發(fā)生變化？如果不變，請求出它的值，如果變化，請求出它的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|a-b+5|+$\sqrt{2a+b+1}$=0，可以求得a，b的值，從而得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由點(diǎn)C在y軸上，且S_△ABC=10，可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意可得∠ECD=∠EAH，CF和AF分別平分∠BCO和∠BAD，從而可以求得∠1=∠2=∠3=∠4，從而推出△GCD和△GAF的三個(gè)內(nèi)角分別相等，從而可以求得∠AFC的度數(shù)．
（3）過點(diǎn)A作MN的平行線AH交BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的知識可以得到△CMN和△CAH都為等腰三角形，再根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和，進(jìn)行靈活變化，從而得到問題的答案．

解答 解：（1）∵|a-b+5|+$\sqrt{2a+b+1}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{2a+b+1=0}\end{array}\right.$．
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
∴線段AB=3-（-2）=5．
又∵點(diǎn)C在y軸上，且S_△ABC=10，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y）．
∴$\frac{5×|y|}{2}=10$．
得|y|=4．
∴y=±4．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）．
（2）如下圖所示：

∵OA⊥OC，
∴∠AOE=90°．
∴∠OAE+∠OEA=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠EDC=90°．
∴∠DEC+∠DCE=90°．
又∵∠OEA=∠DEC，
∴∠OAE=∠DCE．
∵CF和AF分別平分∠BCO和∠BAD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
又∵∠2+∠OHA=90°，∠OHA=∠CHF，
∴∠3+∠CHF=90°．
∴∠F=90°．
即∠AFG=90°．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，$\frac{∠BAC-∠ABC}{∠APN}$的值不變．
如下圖所示：過點(diǎn)A作MN的平行線AH交BC于點(diǎn)H．

∵CO平分∠ACB，PQ⊥OC于點(diǎn)Q，交AC和BC于點(diǎn)M，N，
∴△CMN為等腰三角形．
∵M(jìn)N∥AH，
∴∠CNM=∠CHA，∠CMN=∠CAH．
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠CHA=∠CAH．
∴△CAHS是等腰三角形．
∴∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠BAH+∠CHA．
∴∠BAC-∠ABC=∠BAH+∠CHA-∠ABC．
∵∠CHA=∠BAH+∠ABC，
∴∠BAC-∠ABC=2∠BAH．
∵AH∥MN，
∴∠APN=∠BAH．
∴$\frac{∠BAC-∠ABC}{∠APN}=\frac{2∠BAH}{∠BAH}=2$．

點(diǎn)評 本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的面積，三角形的外角的知識，典型題目|a-b+5|+$\sqrt{2a+b+1}$=0．可知絕對值里面的式子和根號里面的式子都為0．本題的關(guān)鍵是分析好題目中給出的信息，靈活變化，得到解答問題用到的有用信息，最終解答問題．