Question

3．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在x軸正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，且C為$\widehat{AE}$的中點(diǎn)，連結(jié)CE、AE、CB、EB，AE與y軸交于點(diǎn)F，已知A（-2，0），C（0，4）．
（1）求證：AF=CF；
（2）求⊙M的半徑及EB的長(zhǎng)；
（3）如圖②，P為x軸下方半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE交CB于R，當(dāng)△CRE為等腰三角形時(shí)，直接寫出EP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：連結(jié)AC．證明$\widehat{AD}=\widehat{AC}=\widehat{CE}$，從而可得到∠ACD=∠CAE，故此AF=CF；
（2）如圖2所示：連結(jié)AC、AD、CM，CM交AE于H．設(shè)半徑為x，則OM=x-2，在△COM中由勾股定理可求得x=5，然后在△ACM中利用面積法求得AH=4，從而得到AE=8，最后在△AEB中，由勾股定理求得BE=6；
（3）如圖3所示：當(dāng)ER=CR時(shí)，證明△PCE≌△BCE，從而得打PE=BC=4$\sqrt{5}$；如圖4所示：CE=CR時(shí)．過(guò)點(diǎn)B作BN⊥EP，垂足為N．先證明△EBN為等腰直角三角形，在△BEN中利用特殊銳角三角函數(shù)可求得EN=3$\sqrt{2}$，然后根據(jù)△AEB∽△PNB可求得NP=4$\sqrt{2}$；如圖6所示：當(dāng)CE=ER=2$\sqrt{3}$時(shí)．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G．先證明△CEG∽△AEB，從而可求得CG=4，于是可得到CR=8，BR=4$\sqrt{5}$-8，接下來(lái)證明△AER∽△BPR，從而可求得PR=$\frac{80-32\sqrt{5}}{5}$，故可求得EP=$\frac{80-22\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）如圖1所示：連結(jié)AC．

∵C是$\widehat{AE}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠AEC，
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=∠AEC，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF；
（2）如圖2所示：連結(jié)AC、AD、CM，CM交AE于H．

由題意得：OC=4，OA=2，設(shè)半徑為x，則OM=x-2，
∴（x-2）²+4²=x²．
解得：x=5，
∴M（3，0）．
∴圓M的半徑=OM+OA=3+2=5
∵點(diǎn)C是弧AE的中點(diǎn)，
∴AC=CE．
∴CM⊥AE，AE=2AH．
∵S_△ACM=$\frac{1}{2}$CM•AH=$\frac{1}{2}$AM•OC，CM=AM，
∴AH=OC=4．
∴AE=8．
∵AB=2×5=10，
∴EB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6；
（3）如圖3所示：當(dāng)ER=CR時(shí)

∵ER=CR，
∴∠ECB=∠CEP．
在△PCE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠EPC}\\{∠ECB=∠CEP}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴EP=CB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
如圖4所示：CE=CR時(shí)．過(guò)點(diǎn)B作BN⊥EP，垂足為N．

∵CE=CR，
∴∠CER=∠CRE．
∴∠PEB+∠EBC=∠CEA+∠AEP．
又∵點(diǎn)C是弧AE的中點(diǎn)，
∴∠CBE=∠CEA．
∴∠AEP=∠BEP．
又∵∠AEP+∠BEP=90°．
∴∠AEP=∠BEP=45°．
∵在△EBN中，BE=6，∠ENB=90°，∠NEB=45°，
∴NB=NE=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$．
∵∠EAB=∠NPB，∠AEB=∠BNP=90°，
∴△AEB∽△PNB．
∴$\frac{NB}{NP}=\frac{EB}{AE}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{NP}=\frac{6}{8}$．
∴NP=4$\sqrt{2}$．
∴EP=3$\sqrt{2}+4\sqrt{2}$=7$\sqrt{2}$．
如圖6所示：當(dāng)CE=ER=2$\sqrt{5}$時(shí)．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G．

在Rt△COB中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵∠ECB=∠EAB，∠AEB=∠CGE=90°，
∴△CEG∽△ABE．
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CG}{AE}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{CG}{8}$．
解得：CG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴CR=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
∴BR=4$\sqrt{5}$-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠BPE=∠ECR，∠ERC=∠BRP，
∴△AER∽△BPR．
∴$\frac{BR}{CE}=\frac{PR}{CR}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{PR}{\frac{16\sqrt{5}}{5}}$．
解得：PR=$\frac{32\sqrt{5}}{25}$．
∴EP=2$\sqrt{5}$+$\frac{32\sqrt{5}}{25}$=$\frac{82\sqrt{5}}{25}$．
綜上所述，EP的長(zhǎng)度為4$\sqrt{5}$或7$\sqrt{2}$或$\frac{82\sqrt{5}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，垂徑定理、圓周角定理，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．