Question

4．閱讀下面的學習材料：
在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，例如：$\frac{x-1}{x+1}，\frac{x^2}{x-1}$這樣的分式就是假分式；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”例如：$\frac{3}{x+1}，\frac{2x}{{{x^2}+1}}$這樣的分式就是真分式．我們知道，假分數(shù)可以化為帶分數(shù)，例如：$\frac{8}{3}=\frac{6+2}{3}=2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}$，類似的，假分式也可以化為“帶分式”（即：整式與真分式的和的形式），
例如：$\frac{x-1}{x+1}=\frac{{（{x+1}）-2}}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$，$\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{x^2}-1+1}}{x-1}=\frac{{（{x+1}）（{x-1}）+1}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$．
參考上面的方法解決下列問題：
（1）將分式$\frac{x-1}{x-2}，\frac{{{x^4}+3{x^2}+1}}{{{x^2}+1}}$化為帶分式；
（2）當x取什么整數(shù)值時，分式$\frac{2x-1}{x+2}$的值也為整數(shù)？

Answer 1

分析 （1）兩式根據(jù)材料中的方法變形即可得到結果；
（2）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時整數(shù)x的值．

解答 解：（1）$\frac{x-1}{x-2}$=$\frac{x-2+1}{x-2}$=1+$\frac{1}{x-2}$，$\frac{{x}^{4}+3{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}（{x}^{2}+1）+2{（x}^{2}+1）-3}{{x}^{2}+1}$=x²+2-$\frac{3}{{x}^{2}+1}$；
（2）$\frac{2x-1}{x+2}$=$\frac{2（x+2）-5}{x+2}$=2-$\frac{5}{x+2}$，
當x+2=1，5，-1，-5，即x=-1，3，-3，-7時，分式的值也為整數(shù)．

點評 此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．