Question

18．如圖，在△ABC中，以AB邊為直徑作⊙O，交BC邊于點D，BD=DC，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=12，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AD．通過證明Rt△BED≌Rt△CFD證得BE=CF；
（2）利用射影定理來求DE的長度．

解答 （1）證明：如圖，連接AD．
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC．
又∵BD=DC，即點D是BC的中點，
∴AD是∠CAB的平分線，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△BED與Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；

（2）∵⊙O的半徑為5，BC=12，
∴AB=10，BD=$\frac{1}{2}$BC=6．
在直角△BDE中，DE⊥AB，
∴BD²=BE•AB，即36=10BE，
解得 BE=3.6．
又DE²=BE•AB，
∴DE²=3.6×（10-3.6），則DE=4.8．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．解答（2）題時，也可以利用勾股定理和面積法來求線段DE的長度．