Question

7．如圖1，點(diǎn)M、N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）對(duì)以下兩個(gè)問(wèn)題：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點(diǎn)M、N分別移到BC，CA的延長(zhǎng)線上（如圖2），是否仍能得到∠BQM=60°？
請(qǐng)你判斷，并在下列橫線上填寫“是”或“否”：①是；②是；并對(duì)①、②的判斷，選擇一個(gè)給出理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，根據(jù)SAS推出△BAM≌△CBN，根據(jù)全等得出∠CBN=∠BAM，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABC，即可得出答案；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，求出∠BAM=∠CBN，根據(jù)ASA推出△BAM≌△CBN，根據(jù)全等得出即可；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=AC=BC，求出∠BAN=∠ACM=120°，CM=AN，根據(jù)SAS推出△BAN≌△ACM，根據(jù)全等得出∠N=∠M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
∵在△BAM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△BAM≌△CBN，
∴∠CBN=∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；

（2）①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
∵∠BQM=60°=∠ABN+∠BAM，
∵∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△BAM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}\\{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\end{array}\right.$
∴△BAM≌△CBN，
∴BM=CN，
故答案為：是；

②∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵AC=BC，CN=BM，
∴CM=AN，
在△BAN和△ACM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠ACM}\\{AN=CM}\end{array}\right.$
∴△BAN≌△ACM，
∴∠N=∠M，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC=∠ACB=60°，
故答案為：是．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能推出兩三角形全等是解此題的關(guān)鍵，證明過(guò)程類似，難度適中．