Question

14．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），F(xiàn)（8，0），B（0，4）三點(diǎn)
（1）求拋物線(xiàn)解析式及對(duì)稱(chēng)軸；
（2）若點(diǎn)D在線(xiàn)段FB上運(yùn)動(dòng)（不與F，B重合），過(guò)點(diǎn)D作DC⊥軸于點(diǎn)C（x，0），將△FCD沿CD向左翻折，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，△CDE與△FBO重疊部分面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量取值范圍．
②是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△BDE為直角三角形，若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)有一點(diǎn)N，若以A，B，M，N四點(diǎn)組成的四邊形為菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+3）（x-8），將點(diǎn)B（0，4）代入已知拋物線(xiàn)方程，解得a的值即可；
（2）①分兩種情況：0＜x＜4；4≤x＜8；進(jìn)行討論可求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②分兩種情況：當(dāng)∠BED=90°時(shí)；當(dāng)∠EBD=90°時(shí)；進(jìn)行討論可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓交對(duì)稱(chēng)軸于M₁，M₂兩點(diǎn)；②以AB為對(duì)角線(xiàn)；進(jìn)行討論可求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+3）（x-8），
將點(diǎn)B（0，4）代入得4=a×（0+3）×（0-8），
解得a=-$\frac{1}{6}$．
故拋物線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{6}$（x+3）（x-8），
對(duì)稱(chēng)軸為x=（-3+8）÷2=$\frac{5}{2}$；

（2）CE=CF=8-x，CD=4-$\frac{1}{2}$x，
①當(dāng)0＜x＜4時(shí)，
S=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-$\frac{1}{2}$x）×[1-（$\frac{8-x-x}{8-x}$）²]=-$\frac{3}{4}$x²+4x；
當(dāng)4≤x＜8時(shí)，
S=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{1}{4}$x²-4x+16；
②分兩種情況：當(dāng)∠BED=90°時(shí)，△BOE∽△ECD，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{EC}{CD}$=2，
∴EC=3，
∴C₁（5，0）；
當(dāng)∠EBD=90°時(shí)；
△EOB∽△BOF，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{EC}{CD}$=2，
∴EO=2，
∴EC=$\frac{2+8}{2}$=5，
∴C₂（3，0）；

（3）①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫(huà)圓交對(duì)稱(chēng)軸于M₁，M₂兩點(diǎn)，
M₁I=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
由BM₁，平移至AN₁得，N₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，此時(shí)與對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有交點(diǎn)，故不存在；
②以AB為對(duì)角線(xiàn)，直線(xiàn)AB的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+4，
則AB的中垂線(xiàn)MN的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，y=-1，
∴M（$\frac{5}{2}$，-1），
∴N₃（-$\frac{11}{2}$，5）．
綜上所述：N₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），N₃（-$\frac{11}{2}$，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，把求拋物線(xiàn)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題；會(huì)利用相似比求線(xiàn)段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．