Question

13．如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AC=8cm  BD=6cm，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以2cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿BD方向以1cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，若M，N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)之間的距離是多少？
（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，用含t的代數(shù)式表示OM的長(zhǎng)；
設(shè)W=MN²，求W關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；            
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON的面積為$\frac{1}{4}$cm²．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；
（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，OM=2t-4，ON=3-t，利用勾股定理求得MN的平方即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與O點(diǎn)的位置關(guān)系，分當(dāng)t＜2時(shí)，點(diǎn)M在線段AO上，點(diǎn)N在線段BO上、當(dāng)2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段BO上和當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段OD上三種情況分別討論，利用三角形的面積建立方程求得答案即可．

解答 解：（1）∵菱形ABCD中，AC=8cm  BD=6cm，
∴OA=4，OB=3，
∵當(dāng)t=1秒時(shí)，OM=4-2=2，ON=3-1=2，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，OM=2t-4，ON=3-t，
W=MN²=OM²+ON²=（2t-4）²+（3-t）²=5t²-22t+25；
（3）①當(dāng)t＜2時(shí)，點(diǎn)M在線段AO上，點(diǎn)N在線段BO上．
$\frac{1}{2}$（4-2t）（3-t）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，
∵t＜2，
∴t=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$；
②當(dāng)2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段BO上，
$\frac{1}{2}$（2t-4）（3-t）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=t₂=$\frac{5}{2}$；
③當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段OD上，
$\frac{1}{2}$（2t-4）（t-3）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，
∵t＞3，
∴t=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$．
綜上所述，出發(fā)后$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$s時(shí)，△MON的面積為$\frac{1}{4}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查四邊形綜合題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合利用菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)建立一元二次方程解決問(wèn)題，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．