Question

18．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，EB=$\frac{1}{2}$DC，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上，求證：CD平分∠ACB．

Answer 1

分析 延長BE、CA交與點F，根據(jù)等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF，再利用“角邊角”證明△AFB≌△ADC；可得CD=BF，利用“SAS”證明△BCE和△FCE全等，根據(jù)全等三角形得出∠BCE=∠FCE即可．

解答 證明：如圖，

∵BE⊥CD，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠ABF}\\{AB=AC}\\{∠CAD=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（ASA）；
∴CD=BF，
∵EB=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$BF，
∴BE=EF，
在△BCE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{∠CEB=∠CEF}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FCE（ASA），
∴∠BCE=∠FCE，
∴CD平分∠ACB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明方法，正確作出輔助線，并準確識圖是解題的關(guān)鍵．