Question

10．如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA，因為點A在⊙O上，所以只要證明OA⊥AE即可；由同圓的半徑相等得：OA=OD，則∠ODA=∠OAD，根據(jù)角平分線可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，則AE是⊙O的切線；
（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，證明四邊形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂徑定理得：DF=3，根據(jù)勾股定理求半徑OD的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵點A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切線；
（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四邊形AOFE是矩形，
∴OF=AE=4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=3cm，
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F^2}+D{F^2}}$=5cm，
即⊙O的半徑為5cm．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，在判定一條直線為圓的切線時，分兩種情況判定：①當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑即可，②當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，此題屬于第二種情況：連接OA，是半徑，證明垂直即可．