Question

14．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，若S_△ABC=12，BC=2OC，且AC，BC的長滿足$\left\{\begin{array}{l}{BC-AC=1}\\{BC+AC=11}\end{array}\right.$．
（1）求線段AC，BC的長；
（2）若E為x軸上一點(diǎn)，且S_△AOE=$\frac{16}{3}$，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程組求出線段AC，BC的長；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出OA，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）分AC=AP、CA=CP，PA=CP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{BC-AC=1}\\{BC+AC=11}\end{array}\right.$，
解方程組得，BC=6，AC=5；
（2）∵S_△ABC=12，BC=6，
∴AO=4，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），
由題意得，$\frac{1}{2}×$|x|×4=$\frac{16}{3}$，
則|x|=$\frac{8}{3}$，
解得，x=±$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，0）或（-$\frac{8}{3}$，0）；
（3）當(dāng)AC=AP時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0），
當(dāng)CA=CP，點(diǎn)P在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，CP=CA=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），
點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，CP=CA=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，0），
當(dāng)PA=PC時(shí)，如圖，設(shè)OP=x，則PC=x+3，
則x²+4²=（x+3）²，
解得，x=$\frac{7}{6}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{7}{6}$，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（-1，0）或（8，0）或（-$\frac{7}{6}$，0）時(shí)，△ACP是以AC為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握等腰三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．