Question

19．如圖，在?ABCD中，E為AB中點，EF與CF分別平分∠AEC與∠DCE，G為CE中點，過G作GH∥EF交CF于點O，交CD于點H．
（1）猜想四邊形CGFH是什么特殊的四邊形？并證明你的猜想；
（2）當AB=4，且FE=FC時，求AD長．

Answer 1

分析 （1）猜想：四邊形CGFH是菱形．只要證明△FOG≌△COH，推出四邊形FHCG是平行四邊形即可解決問題；
（2）如圖2中，延長EF交CD的延長線于M．只要證明四邊形CGFH是正方形，以及△AFE≌△DFM即可解決問題；

解答 解：（1）猜想：四邊形CGFH是菱形．
理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠AEC+∠ECD=180°，
∵∠FEC=$\frac{1}{2}$∠AEC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠FEC+∠FCE=90°，
∴∠EFC=90°，
∵GH∥EF，
∴∠GOC=∠EFC=90°，
∵CG=EG，GO∥EF，
∴OF=OC，
在Rt△EFC中，∵EG=GC，
∴FG=GC，
∴∠GCF=∠GFC=∠FCD，
∵∠FOG=∠COH，
∴△FOG≌△COH，
∴OG=OH，
∵OF=OC，
∴四邊形FGCH是平行四邊形，
∵GF=GC，
∴四邊形CGFH是菱形．

（2）如圖2中，延長EF交CD的延長線于M．

∵EF=CF，∠EFC=90°，EG=CG，
∴FG⊥EC，
∴∠FGC=90°，
∴四邊形CGFH是正方形，
∴∠FCG=∠FCH=45°，
∴EF=FM，
∵∠AFE=∠MFD，∠AEF=∠M，
∴△AFE≌△DFM，
∴AE=DM=2，AF=DF，
∴CM=CD+DM=6，
∵FH⊥CM，CF=FM，
∴CH=HM=FH=3，
在Rt△DFH中，DF=$\sqrt{F{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AD=2DF=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．